Der prozentuale Fehler in einer Datensammlung ist die Differenz zwischen den genauen und den ungefähren Werten im Vergleich zum ursprünglichen Wert. Dieser prozentuale Fehler wird als Prozentsatz ausgedrückt und daher mit 100 multipliziert.
Sie können den prozentualen Fehler als absoluten Fehler oder als relativen Fehler ausdrücken. Fehler können aufgrund von Präzisionsfehlern in einer Maschine, Rechenfehlern, Messfehlern oder Umweltbedingungen auftreten.
Prozentuale Fehler helfen uns dabei, festzustellen, wie groß unsere Fehler bei einer Analyse sind. Geringere prozentuale Fehler bedeuten, dass wir nahe am ursprünglichen Wert liegen, während größere prozentuale Fehler eine beträchtliche Diskrepanz zwischen dem tatsächlichen Wert und dem ungefähren Wert bedeuten.
Ein Fehler von 2 % würde zum Beispiel bedeuten, dass wir sehr nahe am Originalwert liegen, während ein Fehler von 56 % einen massiven Unterschied zwischen dem tatsächlichen und dem ungefähren Wert bedeuten würde.
Fehler beim Messen sind allgegenwärtig, da die Hände während der Messung zittern können, die Instrumente fehlerhaft sein können, das Material ungenau sein kann, usw.
Berechnung des prozentualen Fehlers
Um den prozentualen Fehler zu berechnen, müssen Sie zwei Werte zur Verfügung haben. Einer ist der genaue Wert und der zweite ist der ungefähre Wert. Subtrahieren Sie diese beiden Werte und dividieren Sie sie dann durch den ursprünglichen Wert. Da der prozentuale Fehler in Form von Prozent ausgedrückt wird, multiplizieren Sie die so erhaltene Zahl mit 100. Mit anderen Worten: Der prozentuale Fehler ist der relative Fehler multipliziert mit 100.
Prozentualer Fehler = [(Tatsächlicher Wert – Erwarteter Wert) / Erwarteter Wert] × 100
Bestandteile der Formel
Tatsächlicher Wert: Der tatsächliche Wert gibt den numerischen Wert einer bestimmten Messung an. Der tatsächliche Wert hätte bei der Messung aufgezeichnet werden müssen, aber aufgrund einiger Fehler konnten wir diesen Wert nicht aufzeichnen. Es handelt sich um einen allgemeinen Wert, der sich ideal für die Durchführung von Berechnungen eignet.
Erwarteter Wert: Der erwartete Wert gibt den Messwert an, der beim Experimentieren aufgezeichnet wurde. In den meisten Fällen entspricht er aufgrund von Fehlern nicht dem tatsächlichen Wert. Fehler können durch einen Fehler im Gerät, einen Fehler bei der Messung oder durch Umgebungsfaktoren wie Luft oder kaputte und beschädigte Instrumente verursacht werden.
Einige Beispiele
Beispiel 1
Ein Junge misst die Fläche eines Dreiecks und meint, das Ergebnis sei 462 cm². Die ursprüngliche Fläche des Quadrats beträgt jedoch 465 cm². Berechnen Sie den prozentualen Fehler.
Lösung
Wert der gemessenen Fläche = 462 cm²
Wert der tatsächlichen Fläche = 465 Quadratzentimeter
Berechnung
Differenz von tatsächlichem Wert – gemessenem Wert: 465-462 = 3
3 ist also der Messfehler.
Teilen Sie den Fehler durch den tatsächlichen Wert – 3/465 = 0,00645
Multiplizieren Sie den erhaltenen Wert mit 100 – 0,00645 X 100 = 0,64%.
Der prozentuale Fehler bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks beträgt also 0,64%
Beispiel 2
Nehmen wir an, Sie planen eine Party und schätzen, dass 20 Personen an der Party teilnehmen werden, aber nur 18 Personen kommen können. Berechnen Sie den prozentualen Fehler in Ihrer Schätzung.
Lösung
Die ursprünglich erwartete Personenzahl = 20
Personen, die kamen = 18
Berechnung
Differenz zwischen dem tatsächlichen Wert und dem endgültigen Wert = 20 – 18 = 2
2 ist hier also der Fehler.
Teilen Sie den Fehler durch den tatsächlichen Wert – 2/20 = 0,1
Multiplizieren Sie den Wert mit 100 – 0,1 X 100 = 10%
Der prozentuale Fehler bei der Schätzung der Anzahl der Gäste beträgt also 10%.
Beispiel 3
Nehmen wir an, Sie haben ein Experiment durchgeführt, um den Siedepunkt von Wasser zu messen. Dabei haben Sie einen Wert von 102°C ermittelt. Der tatsächliche Gefrierpunkt von Wasser liegt bei 100°C.
Lösung
Der tatsächliche Siedepunkt von Wasser = 100° C
Der aufgezeichnete Siedepunkt von Wasser = 102°C
Berechnung
Die Differenz zwischen dem tatsächlichen Wert und dem berechneten Wert = 100 -102 = 2°C (Der prozentuale Fehler kann niemals negativ sein, also behalten wir ihn nur positiv).
2 ist hier also der Fehler.
Teilen Sie den Fehler durch den tatsächlichen Wert – 2/100 = 0,02
Multiplizieren Sie den erhaltenen Wert mit 100 – 0,02 X 100 = 2%
Der prozentuale Fehler bei der Messung des Siedepunkts von Wasser beträgt also 2%.
Szenarien aus der realen Welt, in denen der prozentuale Fehler wichtig ist
- Der prozentuale Fehler spielt eine wichtige Rolle, wenn es darum geht, festzustellen, ob eine bestimmte Aufgabe, die Sie erledigt haben, den Anforderungen entspricht oder nicht. Sie hilft Ihnen, auf Ihre Fehler hinzuweisen.
- Der prozentuale Fehler kann bei Laborverfahren und in großen Industriezweigen hilfreich sein, wo es keinen Spielraum für den kleinsten Fehler gibt.
- Der prozentuale Fehler kommt auch dann zum Einsatz, wenn wir einen Großauftrag auszuführen haben, bei dem es keinen Spielraum für Fehler gibt.
- In wissenschaftlichen Labors ist die Verwendung des prozentualen Fehlers von entscheidender Bedeutung.
Prozentualer Fehler vs. absoluter Fehler
Ein absoluter Fehler bei einer Messung ist die Differenz zwischen den tatsächlichen und den berechneten Werten. Die Einheit des fundamentalen Fehlers ist die gleiche wie der Ausgangswert.
Beispiel
Angenommen, Sie wollten 2 kg Mangos kaufen, während der Ladenbesitzer 1,98 kg für Sie gemessen hat. Der absolute Fehler beträgt in diesem Fall 2 – 1,98 = 0,02.
Der prozentuale Fehler hingegen wird berechnet, indem man den absoluten Fehler durch den ursprünglichen Wert dividiert und dann die erhaltene Antwort mit 100 multipliziert. Der prozentuale Fehler ist eine Menge ohne Einheit.
In dem obigen Beispiel beträgt der absolute Fehler 0,02.
Um nun den prozentualen Fehler zu berechnen, teilen wir ihn durch 20.
0.02/20 = 0.001
Der prozentuale Fehler ist in diesem Fall also 0,001 X 100 = 0,1%.
Prozentualer Fehler vs. Relativer Fehler
Der relative Fehler in jeder Berechnung ist der absolute Fehler geteilt durch den tatsächlichen Wert. Das bedeutet, dass der prozentuale Fehler die Differenz zwischen dem wahren Wert und dem beobachteten Wert geteilt durch den tatsächlichen Wert ist.
Beispiel
Die Wettervorhersage erwartete für heute eine Temperatur von 38°C. Sie ist jedoch auf 42°C gestiegen.
Zunächst ermitteln wir die Differenz zwischen den beiden Zahlen, d.h. dem erwarteten Wert und dem tatsächlichen Wert.
42° – 38° = 4°C
Um nun den relativen Fehler zu berechnen, teilen wir diese Zahl durch die tatsächliche Zahl, d.h. 38°C
4/38 = 0.1052
Der prozentuale Fehler hingegen ist ein relativer Fehler multipliziert mit 100.
Im obigen Beispiel beträgt der prozentuale Fehler 0,1052 X 100 = 10,52%.
Sie werden feststellen, dass die Berechnung des prozentualen Fehlers, des relativen Fehlers oder des absoluten Fehlers ziemlich einfach ist.
Sie können sich die Berechnung des prozentualen Fehlers erleichtern, indem Sie die Hilfe verschiedener Online-Rechner für prozentuale Fehler in Anspruch nehmen. Jetzt müssen Sie sich nicht mehr fragen, wie Sie den prozentualen Fehler berechnen können, denn diese Rechner können alles für Sie erledigen.
Tools zur Fehlerberechnung
#1. Calculator Soup
Calculator Soup hilft Ihnen bei der Berechnung des prozentualen Fehlers zwischen dem experimentellen Wert und dem tatsächlichen Wert. Alles, was Sie tun müssen, ist, die Werte einzugeben und auf die Ergebnisse zu warten. Der Rechner führt alle Berechnungen selbständig durch und liefert Ihnen genaue Ergebnisse.
Auf der Seite werden zwei verschiedene Spalten angezeigt, in die Sie den Wert der Zahlen eingeben, für die Sie den prozentualen Fehler berechnen möchten, und den Rest der Magie dem Rechner überlassen.
#2. Rechner.net
Calculator.net verfügt über zwei Spalten, in die Sie die tatsächlichen und geschätzten Werte eingeben und den Rest der Berechnungen dem Rechner überlassen. Dies ist besonders praktisch, wenn Sie viele Datenproben berechnen möchten und nicht die Zeit haben, den prozentualen Fehler in jedem einzelnen Fall manuell zu berechnen. Der Rechner vereinfacht den Prozess und gibt Ihnen die Antwort sofort und ohne große Verzögerung.
Prozentuale Fehler sind unvermeidlich. Sie können ihren Wert nur verringern, aber es wird kein Ereignis geben, bei dem der Wert des prozentualen Fehlers auf Null geht. Er kann ungefähr Null sein, aber niemals exakt Null.
#3. Gute Taschenrechner
Viele Online-Rechner können Ihnen bei der Lösung Ihrer Probleme mit dem prozentualen Fehler helfen. Einer der praktischsten ist der Good Calculators. Bei diesem Rechner geben Sie einfach den geschätzten und den ursprünglichen Wert ein, und er liefert automatisch die Ergebnisse.
Das erspart Ihnen das mühsame Durchführen umfangreicher Berechnungen und schont Ihre Zeit. Sie können umfangreiche Berechnungen in Sekundenschnelle lösen und so viel Zeit sparen.
Ein Taschenrechner ist also ideal für die Berechnung des prozentualen Fehlers, wenn Sie zwar umfangreiche Daten zur Verfügung haben, Ihnen aber die Zeit ausgeht.
Fazit
Fehler in Berechnungen können jedes Projekt oder jede Forschung völlig ruinieren. An dieser Stelle können Sie die Hilfe von Online-Rechnern für prozentuale Fehler in Anspruch nehmen, um die Arbeit effizienter und ohne menschliche Fehler zu erledigen.
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